vissza

Számrendszerek az informatikában

Az informatikában négy fő számrendszert használnak:

10-es számrendszer (decimális)

A számrendszer alapja: 10.

Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2-es számrendszer (bináris)

A számrendszer alapja: 2.

Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek: 0 és 1

16-os számrendszer (hexadecimális)

 

A számrendszer alapja: 16.

Az adott számrendszerben szerepeltethető számjegyek:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Történet

Manapság a 10-es alapú számrendszer a legelterjedtebben használt számrendszer. Feltehetően a rendszer elterjedségenek az az oka, hogy az embereknek tíz ujjuk van.

A 8-as alapú rendszert az észak-kaliforniai yuki indiánok találták ki, akik feltehetőleg az ujjak közét is használták a számláláskor.

A maja, valamint a pre-kolumbiai és közép-amerikai civilizációk 20-as alapú számrendszereket használtak, (ennek eredete feltehetőleg öszefügg az emberek kéz- és lábujjainak számával).

A 60-as alapú rendszert a sumér és az azt követő Mezopotámiai kultúrák használták, de mint túlélőt, a ma használt időmérő rendszerben is ezt a rendszert használjuk (egy órát 60 percre osztunk, illetve 1 percet 60 másodpercre).

A 12-es számrendszer nagyon népszerű volt, mert a 12 maradék nélkül osztható 2-vel (felezhető), 3-mal (harmadolható), 4-el (negyedelhető), 6-al(hatodolható). A ma használt naptárban az év 12 hónapra oszlik, 12 óra a nappal és 12 óra az éjszaka.

A 2-es számrendszer használata abból adódik, hogy a kapcsolók/relék (és elektronikus követőik, az elektroncsövekből, majd később a tranzisztorokból álló kapcsolóáramkörök) csak két állapotúk lehetnek : "nyitottak" és "zártak". Anyitott=1 és a zárt=0 helyettesítéssel (vagy fordítva) nyerjük a bináris számjegyek sorozatát. (A tranzisztorok esetében a feszültégekre gyakran használatos a magas és az alacsony kifejezés a 'be' és 'ki' helyett). A bináris rendszer az alapja a digitális számítógépek működésének. Ezt a számrendszert használja csaknem minden digitális számítógép az egészekkel való aritmetikai műveleteknél.

 

A helyiértékes rendszer

A világszerte használt 10-es alapú számrendszer csak a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeket használja. A felsorolás egyben a számok un. alaki értéke, a számjegy tényleges értéke helyi értéke attól függ, hogy a szám melyik poziciójában áll, mert ekkor az alaki érték még megszorzódik a 10 alapszám adott poziciója szerint hatványával. A 304 =3*102 + 0*101 + 4*100=3*100 + 0*10 + 4. Meg kell jegyezni, hogy a zéró, amelynek használatára az előzőekben említett rendszerekben nem volt szükség, itt alapvetően fontos, mivel lehetővé teszi egy hatvány nagyságrend kihagyását, ill "átugrását" . A ma világszerte elterjedt arab számrendszer, amely valójában Indiai eredetű, a 10-et alapszámnak tekintő helyiértékes rendszer.

Átszámítások

1.    Decimálisból-binárisba

Adott számot (decimális, azaz tizes számrendszerbeli) sorozatosan elosztunk 2-vel. Az osztás maradékát feljegyezzük (0, vagy 1), majd az osztás során az eredmény egészrészét osztjuk tovább. Pl.:

szám maradék  szám maradék
------------  ------------ 
23 | 1        12 | 0
11 | 1        6  | 0
5  | 1        3  | 1
2  | 0        1  | 1
1  | 1        0
0

A maradékoszlop számsorát felírjuk lentről felfelé és megkapjuk az adott decimális szám bináris megfelelőjét.

47              101111

24              11000

100            11001100

76              1001100

45              101101

2.   Binárisból-decimálisba

Mint minden számrendszer a bináris is helyiértékek összegével írható fel. Azaz 20-on, 21-őn... Azok a helyiértékek, melyek 1-essel vannak jelölve decimálisan összeadjuk, az összeg a decimális megfelelő lesz. Pl.:

"helyiértékesítve":

         25 24  23 22 21  20
bináris: 1  0  1  1  1  1

A számjegyek helyiértékeinek összegét számolva:

25*1 + 24*0 + 23*1 + 22*1 + 21*1 + 20*1=32+0+8+4+2+1=47

3.    Decimálisból hexadecimálisba

Az átalakítást a maradékmódszert felhasználva végezzük. A decimális számot addig osztjuk 16-al, ameddig az eredmény 0 nem lesz, a következők szerint.

        :16            :16

szám maradék szám maradék
------------  ------------ 
60 | 12=C      47 | 15=F
 3 | 3          2 | 2
 0 |            0 |

A maradékoszlop számsorát felírjuk lentről felfelé és megkapjuk az adott decimális szám bináris megfelelőjét.

60              3C

47              2F

50              32

100            64

987            3DB

4.    Hexadecimálisból decimálisba

Az átalakítást a hatványérték módszert felhasználva végezzük.

Hexadecimális szám:

3

C

Helyi érték:

161=8

160=1

Hatványérték

3*16

12 (C=12)*1

A szám felírása a hatványértékek összegeként:

                        3C=3*16+12*1=48+12=60


5.    A bináris számok átalakítása hexadecimális számokká

Decimális

Bináris

Hexadecimális

0

0

0

1

1

1

2

10

2

3

11

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

 

Egy bináris számot úgy alakítunk át hexadecimális számmá, hogy a bináris számot jobbról kezdve négyes csoportokra osztjuk, és minden négyes csoportot a megfelelő hexadecimális számmal helyettesítjük a következő módon.

            10011111=     1001    1111

                                   9          F          = 9F

 

6.    A hexadecimális számok átalakítása bináris számokká

Mindegyik hexadecimális számjegyet helyettesítjük a megfelelő bináris számmal a következő módon.

            9F=     9          F

                        1001    1111    = 10011111